algèbre linéaire (Cours Mathématiques · S1)

Licence Sciences et Techniques

L2 PC SI

MP33/M331

Algèbre linéaire

Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire.

Gloria Faccanoni i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html

Année 2013 – 2014

Dernière mise-à-jour : Lundi 20 janvier 2014

T able des matières

1 Matrices 3

2 Systèmes linéaires 21

3 Espaces vectoriels 47

4 Applications linéaires 91

USTV

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À quoi sert l’ algèbre linéaire ? Malheureusement, il n’y a pas de réponse simple au niveau Licence : en effet, la plupart des problèmes pour lesquels on va utiliser l’algèbre linéaire peuvent aussi se résoudre de manière élémentaire, la plupart du temps en résolvant un système linéaire et ceci peut donner l’impression qu’on remplace des calculs fastidieux mais simples par des arguments et des concepts très compliqués, très abstraits. On peut quand même déjà sentir l’intérêt de l’algèbre linéaire : celle-ci permet d’unifier des problèmes et des situations à priori très différentes, en donnant un cadre général dans lequel ces problèmes vont avoir le même aspect. Une telle démarche est fondamentale dans les mathématiques. Par exemple, on remarque que l’on sait additionner deux vecteurs de R3, ou deux fonctions, ou deux polynômes . . . et qu’on sait aussi multiplier chacun de ces objets par des réels. Puisque ces objets (différents) peuvent subir le même type d’opération, ayant les mêmes propriétés formelles, les raisonnements ou les concepts qui utilisent uniquement ces opérations vont être valables dans chacun des trois cadres cités. Par exemple, les notions de droite, de plan, de repère (on dira base), que l’on connait déjà dans R3, vont aussi …